Информатика и математика - материалы для экзамена

Выборочный метод

Основные понятия

•  Множество всех единиц статистической совокупности носит название генеральной совокупности . Многие задачи статистического анализа связаны с описанием больших совокупностей объектов.

•  Зачастую на практике по тем или иным причинам невозможно рассмотреть все элементы таких совокупностей. В этом случае ограничиваются изучением лишь некоторой части генеральной совокупности. Эта часть называется выборочной совокупностью или выборкой .

•  Полученные при изучении выборки результаты стремятся распространить на всю генеральную совокупность.

•  Для этого выборка должна быть не любой произвольной частью генеральной совокупности, а такой ее частью, которая достаточно правильно отражает основные параметры этой совокупности.

•  Таким образом, выборка должна быть репрезентативной (представи - тельной).

•  Каким образом можно добиться репрезентативности выборки, т.е. того, чтобы она правильно отражала основные свойства, присущие генеральной совокупности?

•  Ответ кажется, на первый взгляд, довольно парадоксальным: выборка должна быть случайной . Что это значит?

•  Случайность никоим образом не отождествляется со стихийностью или произвольностью отбора – напротив, случайность означает то, что все объекты генеральной совокупности должны иметь равные шансы попасть в выборку .

•  Наиболее простым является случайный отбор, например, при помощи обычной жеребьевки .

•  Для случайного отбора часто используются т.н. таблицы случайных чисел.

•  Для более обширных, но достаточно однородных совокупностей используется механический отбор (применявшийся еще в земской статистике).

•  Для неоднородных совокупностей с определенной структурой чаще применяется типический отбор .

•  Существуют и другие методы, в том числе – комбинации разных способов отбора на нескольких этапах построения выборочной совокупности.

* * *

•  Однако никакая, даже самым тщательным образом сформированная выборка, не может дать точного знания о генеральной совокупности.

•  Таким образом, в выборочных результатах всегда присутствуют ошибки . Эти ошибки можно разделить на два класса:

•  случайные,

•  систематические.

•  К случайным ошибкам относятся отклонения выборочных характеристик от генеральных (например, отклонения среднего значения признака в выборке от среднего значения этого признака в генеральной совокупности.

•  Случайные ошибки обусловлены самой природой выборочного метода, и поэтому они неизбежны .

•  Однако величина случайной ошибки поддается вычислению (оценке).

•  Систематические ошибки, наоборот, не носят случайного характера; они связаны с отклонением структуры выборки от реальной структуры генеральной совокупности.

•  Систематические ошибки появляются тогда, когда нарушается основное правило случайного отбора – обеспечение для всех объектов равных шансов попасть в выборку.

•  Необходимо строить выборку так, чтобы устранить систематические ошибки.

•  Основными источниками систематических ошибок являются:

•  неадекватность сформированной выборки задачам исследования;

•  незнание характера распределения в генеральной совокупности и, как следствие, нарушение в выборке структуры генеральной совокупности;

•  сознательный отбор наиболее удобных и выигрышных элементов генеральной совокупности.

Выборочный метод

Статистическое оценивание среднего значения количественного признака

Теория статистического оценивания

•  Идея статистического оценивания параметров генеральной совокупности по выборочным данным сводится к тому, что выборочная характеристика какого-либо параметра (например, среднего арифметического значения признака) является не точным, а приближенным значением – оценкой – этого же параметра в генеральной совокупности (как правило, значение в генеральной совокупности неизвестно.

Теория статистического оценивания

•  Возникает вопрос: как сильно отклоняется эта оценка от истинного значения? В частности, нельзя ли указать такую величину ошибки , которая "практически достоверно" (т.е. с вероятностью, близкой к единице) гарантировала бы, что выборочная оценка не отличается от неизвестного значения более чем на величину этой ошибки?

Теория статистического оценивания

•  То есть, нельзя ли указать вокруг выборочного значения такой интервал, который бы с заданной (достаточно высокой) вероятностью – доверительной вероятностью – "накрывал" бы истинное значение этого параметра?

•  Этот интервал в математической статистике называется доверительным интервалом ; его величина зависит как от доверительной вероятности (т.е. надежности оценивания), так и от объема выборки.

Ошибка среднего

•  В качестве примера рассмотрим данные промышленной переписи 1900 г. по предприятиям Закавказья (файл Industry.sta) как генеральную совокупность (1060 предприятий).

•  Среднее число рабочих на предприятии равно 77 чел. (по всей генеральной совокупности).

Ошибка среднего

•  Случайный отбор 5% объектов (53 предприятия) дает среднее число рабочих, равное 81 чел. Ошибка выборки, очевидно связанная с тем, что не все 1060 предприятий попали в выборку, равна разности между этими средними – генеральным средним ( ) и выборочным ( ).

Ошибка среднего

•  Если сформировать другую выборку того же объема из нашей генеральной совокупности, она даст другую величину ошибки и т.д.

•  Оказывается, что все эти выборочные средние при достаточно больших выборках распределены нормально вокруг генеральной средней при достаточно большом числе повторений выборки одного и того числа объектов из генеральной совокупности.

Ошибка среднего

•  При этом неизбежный разброс выборочных средних вокруг генеральной средней (т.е. стандартное отклонение выборочных средних) называется стандартной ошибкой выборки m , которая выражается формулой:

где s – среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки.

Ошибка среднего

•  Стандартная ошибка среднего значения ( Standard Error of Mean ) измеряется в тех же единицах, что и среднее квадратическое отклонение признака.

•  Стандартная ошибка выборки тем меньше, чем меньше величина s (которая характеризует разброс значений признака) и чем больше объем выборки n .

Ошибка среднего

•  В нашем примере величина s в генеральной совокупности известна точно и равна 187 чел.; по формуле для ошибки выборки легко подсчитать, что m » 26 чел.

•  Это значит, что с определенной долей уверенности можно говорить, что большинство выборочных средних должно находиться в интервале ± m . Например, для нашей выборки число 81 попало в интервал 77 ± 26 (в интервал от 52 до 103).

Ошибка среднего

•  Что значит "большинство" выборочных средних?

•  Для нормального распределения (а распределение выборочных средних как раз и является нормальным) известно, какая часть совокупности попадает в любой интервал вокруг среднего значения. В частности:

•  67% всех выборочных средних попадут в интервал ± m ;

•  95% – в интервал ± 2 m ;

•  99,7% – в интервал ± 3 m .

Ошибка среднего

•  На практике проблема заключается, однако, в том, что характеристики генеральной совокупности нам не известны, а выборка делается именно с целью их оценки.

Ошибка среднего

•  Поэтому вместо величины известна для выборки, и s тоже считается по выборке. Значит, если мы будем делать выборки одного и того же объема n из генеральной совокупности, то в 67% случаев на интервале ± m будет находиться значение (оно же в 95% случаев будет находится на интервале ± 2 m и в 99,7% случаев – на интервале ± 3 m ).

Ошибка среднего

•  Поскольку реально делается только одна выборка, то формулируется это утверждение в терминах вероятности: с вероятностью 67% среднее значение признака в генеральной совокупности заключено в интервале ± m (с вероятностью 95% – в интервале ± 2 m и т.д.).

Теория статистического оценивания

•  На практике вокруг выборочного значения строится такой интервал, который бы с заданной (достаточно высокой) вероятностью – доверительной вероятностью – "накрывал" бы истинное значение этого параметра в генеральной совокупности.

•  Этот интервал в математической статистике называется доверительным интервалом .

Теория статистического оценивания

•  Доверительная вероятность P – это степень уверенности в том, что доверительный интервал действительно будет содержать истинное (неизвестное) значение параметра в генеральной совокупности.

•  Доверительная вероятность выражается процентом выборок данного объема, которые дают доверительные интервалы, содержащие значение в генеральной совокупности.

Теория статистического оценивания

•  Например, если доверительная вероятность P равна 0,90 или 90%, это значит, что 90 выборок из 100 (то есть 0,90 или 90%) дадут правильную оценку параметра в генеральной совокупности.

•  Соответственно, вероятность ошибки, т.е. неверной оценки генерального среднего по выборке, равна 1 – P ( в процентах – 100% - P ). Для данного примера это значит, что 10 выборок из 100 (0,1 или 10% дадут неверную оценку.

Теория статистического оценивания

•  Очевидно, что степень уверенности (доверительная вероятность) зависит от величины интервала: чем шире интервал, тем выше уверенность , что в него попадет неизвестное значение для генеральной совокупности.

•  На практике для построения доверительного интервала берется, как минимум, удвоенная ошибка выборки, чтобы обеспечить уверенность не менее 95%.

Доверительный интервал для среднего

•  Величина доверительного интервала
± t m пропорциональна ошибке выборки μ .

•  Кроме того, величина доверительного интервала зависит от параметра t , который выбирается, исходя из требуемого уровня надежности.

•  Значение параметра t = 1 соответствует уверенности 67%, t = 2 – уверенности 95%, а t = 3 – уверенности 99,7%.

Доверительный интервал для среднего

•  Величина D = t m , которая в целом определяет величину доверительного интервала, называется предельной ошибкой выборки или точностью оценки

•  Параметр t показывает во сколько раз предельная ошибка D превышает среднюю ошибку выборки m .

Доверительный интервал для среднего

•  Пример . Ниже показаны границы доверительного интервала для среднего значения числа рабочих в генеральной совокупности по выборке из 53 предприятий при степени уверенности 95%.

•  Получен доверительный интервал [32, 131] (при этом известное нам значение , равное 77 чел., действительно находится на этом интервале).

Доверительный интервал для среднего

•  Точность ( Δ ) и уверенность (надежность) ( P ) оценки находятся в обратной зависимости: чем больше точность (т.е. чем меньше предельная ошибка и уже доверительный интервал), тем меньше надежность такой оценки (степень уверенности).

•  И наоборот – чем ниже точность оценки, тем выше ее надежность .

Доверительный интервал для среднего

Доверительный интервал для среднего

•  Последовательность действий при построении доверительного интервала:

•  По выборке вычисляется и σ .

•  Вычисляется средняя ошибка выборки μ .

•  Выбирается доверительная вероятность P и соответствующее ей значение параметра t .

•  Вычисляется предельная ошибка Δ как произведение t и μ .

•  Строится интервал ± t m .

Выборочный метод

Определение объема выборки для оценки среднего значения количественного признака

Определение объема выборки

•  Исследователь всегда ставит перед собой задачу создания выборки, которая давала бы оценку параметров генеральной совокупности с определенной точностью D и надежностью (уверенностью) P.

•  Таким образом, формирование выборочной совокупности начинается с определения того, какое количество объектов надо включить в выборку, чтобы она обеспечивала искомые точность и надежность.

Определение объема выборки

•  В соответствии с формулой для ошибки выборки количество объектов (или объем выборки) n определяется по формуле:

,

где параметр t определяется по специальным таблицам нормального распределения в зависимости от величины надежности P (в частности, для надежности 95% t равно 2),
s – среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности (или в выборке).

Определение объема выборки

•  Одна из проблем выборочного метода состоит в том, что пока выборка не сделана, величина s в формуле для объема выборки не известна, поэтому для окончательного формирования выборки приходится делать предварительную или пробную выборку для определения s .

Определение объема выборки

•  Пример . Определить, сколько предприятий Закавказья следует отобрать, чтобы определить среднее число рабочих на предприятии с надежностью 95% и точностью 20 чел. (в качестве s взять величину 187 чел.).

•  Поскольку степень надежности P = 95%, в качестве значения t выбираем 2.

•  Подставив в формулу для n все необходимые значения, получим: (2) 2 (187) 2 / (20) 2 = 350.

•  Таким образом, надо отобрать для изучения 350 предприятий.

Выборочный метод

Статистическое оценивание доли качественного признака

Ошибка доли

•  Если выборочный метод используется для работы с неколичественными данными, то роль среднего арифметического значения в совокупности играет доля или частота признака.

•  Доля (обозначается q ) вычисляется как отношение числа объектов, обладающих данным признаком ( n 0 ), к числу объектов во всей совокупности: q = n 0 / n .

•  Доля часто выражается в процентах.

Ошибка доли

•  Роль меры рассеяния качественного признака играет величина

•  Стандарная ошибка выборки m для оценки доли качественного признака в генеральной совокупности вычисляется по формуле:

•  Стандартная ошибка доли качественного признака также часто выражается в %.

Ошибка доли

•  Пример . Найдем, пользуясь этой формулой, стандартную ошибку 5% выборки из генеральной совокупности промышленных предприятий Закавказья (53 предприятия из общего числа 1060) при определении доли частных предприятий.

•  По данным выборки из 53 предприятий оказалось 38 частных, т.е. доля частных равна 0,72 (или 72%).

•  Стандартная ошибка выборки объема 53 по приведенной формуле равна » 0,06 (или 6%).

Доверительный интервал для доли

•  Используя стандарную ошибку выборки, можно построить доверительный интервал для доли:

•  Для этого надо взять значение t , которое связано с уровнем надежности P . Если P равно 95%, то, как известно, t = 2.

•  Значит, с вероятностью 95% можно утверждать, что неизвестное значение доли частных предприятий в генеральной совокупности лежит в границах
0,72 ± 2(0,06), т.е. от 0,60 до 0,84 (или от 60 до 84%).

Доверительный интервал для доли

•  Последовательность действий при построении доверительного интервала:

•  По выборке вычисляется .

•  Вычисляется средняя ошибка выборки μ .

•  Выбирается доверительная вероятность P и соответствующее ей значение параметра t .

•  Вычисляется предельная ошибка Δ как произведение t и μ .

•  Строится интервал

Выборочный метод

Определение объема выборки для оценки доли качественного признака

Определение объема выборки

•  Пользуясь формулой для стандартной ошибки выборки для качественного признака, можно получить и формулу объема выборки для определения неизвестного значения доли качественного признака в генеральной совокупности с заданными точностью D и надежностью P . Эта формула имеет вид:

Определение объема выборки

•  Определим объем выборки, которая с надежностью 95% должна оценить долю частных предприятий, и точность оценки ( D ) должна быть равной 0,05 (5%).

•  Пользуясь приведенной выше формулой для n , получим
n = (2) 2 (0,72)(1–0,72)/(0,05) 2 » 161, т.е. 161 предприятие.

Сравнение выборочных средних

Сравнение выборочных средних

•  С помощью доверительных интервалов можно сравнивать средние значения какого-либо признака для разных выборок.

•  Если выборочные средние достаточно близки, это свидетельствует о том, что соответствующие генеральные совокупности не различаются по данному признаку, а реальные расхождения в значениях средних объясняются просто случайностями выборок, являются статистически незначимыми .

Сравнение выборочных средних

•  Если же выборочные средние заметно различаются, это, скорее всего, связано с тем, что и соответствующие этим выборкам генеральные совокупности различаются по данному признаку, т.е. наблюдаемые различия статистически значимы .

•  Как правило, в статистике проверяется гипотеза о том, что наблюдаемые различия выборочных средних являются статистически незначимыми.

Сравнение выборочных средних

•  Какие же различия между выборочными средними являются достаточно малыми или достаточно большими?

•  Представление о том, каковы возможные средние значения в соответствующих генеральных совокупностях, дают доверительные интервалы, построенные для обоих выборочных средних.

•  Величина интервалов зависит от выбранного уровня доверительной вероятности P (например, 95%).

Сравнение выборочных средних

•  Если построенные доверительные интервалы не пересекаются , это значит, что с высокой степенью вероятности средние значения в генеральных совокупностях различны.

•  В этом случае гипотеза о том, что эти средние одинаковы, отклоняется, а различие между выборочными средними считается статистически значимым (т.е. существенным).

Сравнение выборочных средних

•  Если же доверительные интервалы пересекаются , это значит, что с высокой степенью вероятности средние значения в генеральных совокупностях одинаковы.

•  В этом случае гипотеза о совпадении средних в генеральных совокупностях не отклоняется, а различие между выборочными средними считается статистически незначимым (несущественным).

Сравнение выборочных средних

•  Пример . В файле General.sta хранятся некоторые биографические данные о лицах, входивших в высший командный состав Советской армии в период Второй мировой войны. Среди переменных есть "год вступления в армию" и "год вступления в партию".

•  Средние значения этих признаков равны, соответственно, 1918,9 и 1924,9.

•  Является ли различие между ними статистически значимым?

Сравнение выборочных средних

•  Доверительный интервал для среднего значения признака "год вступления в армию" для уровня значимости 95% равен [1918,7; 1919,2].

•  Доверительный интервал для среднего значения признака "год вступления в партию" для уровня значимости 95% равен [1923,9; 1925,8].

Сравнение выборочных средних

•  Эти доверительные интервалы можно изобразить графически:

•  1918,7 1918,9 1919,2 1923,9 1924,9 1925,8

•  Интервалы не пересекаются , а это значит, что с уверенностью 95% можно считать различия между средними для обоих признаков групп статистически значимыми .

Сравнение выборочных средних

•  Последовательность действий при сравнении двух выборочных средних:

•  По каждой выборке (в программе Statistica ) вычисляется:

•  и σ ;

•  средняя ошибка выборки μ ;

•  предельная ошибка Δ как произведение μ и t (зависящего от доверительной вероятности P );

•  Строятся два доверительных интервала и изображаются на одном графике.

•  Если они пересекаются, различие статистически незначимо, если не пересекаются – значимо.

Сравнение выборочных долей

Сравнение выборочных долей

•  С помощью доверительных интервалов можно сравнивать также доли какого-либо качественного признака для разных выборок.

•  Если в двух выборках доли качественного признака близки, это свидетельствует о том, что в соответствующих генеральных совокупностях доли этого признака не различаются, а наблюдаемые расхождения объясняются просто случайностями выборок, т.е. являются статистически незначимыми .

Сравнение выборочных долей

•  И наоборот - если выборочные значения долей заметно различаются, это, скорее всего, связано с тем, что и в соответствующих этим выборкам генеральных совокупностях доли признака различны, т.е. наблюдаемые различия статистически значимы .

•  Как правило, в статистике проверяется гипотеза о том, что наблюдаемые различия выборочных долей являются статистически незначимыми.

Сравнение выборочных долей

•  Чтобы решить, малыми или большими являются различия выборочных значений, надо построить соответствующие им доверительные интервалы, показывающие возможные значения в генеральных совокупностях.

•  Величина интервалов зависит от выбранного уровня доверительной вероятности P (например, 95%).

Сравнение выборочных долей

•  Если доверительные интервалы не пересекаются , это значит, что с высокой степенью вероятности доли качественного признака в генеральных совокупностях различны.

•  В этом случае гипотеза о том, что эти доли одинаковы, отклоняется, а различие между выборочными значениями считается статистически значимым (т.е. существенным).

Сравнение выборочных долей

•  Если же доверительные интервалы пересекаются , это значит, что с высокой степенью вероятности доли качественного признака в генеральных совокупностях одинаковы.

•  В этом случае гипотеза о совпадении долей в генеральных совокупностях не отклоняется, а различие между выборочными значениями считается статистически незначимым (несущественным).

Сравнение выборочных долей

•  Пример . Опрос 100 респондентов в городе А показал, что 40 человек из них собираются голосовать за некую партию. Опрос 400 респондентов в городе В показал, что за эту партию собираются голосовать 200 человек.

•  Таким образом доля голосов в городе А равна 0,4 (40%), в городе В – 0,5 (50%).

•  Является ли различие между городами А и В в поддержке этой партии статистически значимым?

Сравнение выборочных долей

•  По формуле средней ошибки доли найдем величину m в первом и во втором случае:

μ 1 = ; μ 2 =

•  Таким образом, ошибка выборки в первом случае приближенно равна 0,05 или 5%, а во втором случае 0,025 или 2,5%.

Сравнение выборочных долей

•  Чтобы найти предельную ошибку D ( D = t m ), выберем доверительную вероятность 95%. Тогда t =2 и предельная ошибка в первом случае равна 10% и во втором – 5%.

•  Итак, на уровне значимости 95% доверительный интервал для доли голосов в поддержку данной партии в городе А равен 40% ± 10% или [30%; 50%].

•  На том же уровне значимости доверительный интервал для доли голосов в городе В равен 50% ± 5% или [45%; 55%].

Сравнение выборочных долей

•  Изобразим эти доверительные интервалы :

•  30 40 45 50 55

•  Интервалы пересекаются , а это значит, что с уверенностью 95% можно считать различия голосов в поддержку данной партии в городах А и В статистически незначимыми .

Сравнение выборочных долей

•  Последовательность действий при сравнении двух выборочных долей:

•  По каждой выборке (с помощью калькулятора) вычисляются:

•  ;

•  средняя ошибка выборки μ ;

•  предельная ошибка Δ как произведение μ и t (зависящего от доверительной вероятности P ).

•  Строятся два доверительных интервала и изображаются на одном графике.

•  Если они пересекаются, различие статистически незначимо, если не пересекаются – значимо.

Контрольные вопросы

•  В чем сходство и различие между средним квадратическим (стандартным) отклонением s и коэффициентом вариации V ?

•  При увеличении объема выборки доверительный интервал:

•  увеличивается;

•  уменьшается;

•  не изменяется.

Укажите верный ответ.